مشخصات این فایل
عنوان: آشنایی با ماتریس ها
فرمت فایل: word( قابل ویرایش)
تعداد صفحات: 28
این مقاله درمورد آشنایی با ماتریس ها می باشد.
خلاصه آنچه در مقاله آشنایی با ماتریس ها می خوانید :
ماتریس های پوچ توان:
ماتریس مربع A را پوچ توان نامند هرگاه به ازای یک عدد طبیعی، مانند n، داشته باشیم
بدیهی است که اگر به ازای هر عدد طبیعی بزرگتر از n مانند m داریم
کوچکترین این n ها را اندیس پوچ توانی A گویند.
زیرماتریس ها وافراز کردن
یک زیر ماتریس یک ماتریس مفروض A ماتریسی است که از حذف تعدادی از سطرها یا ستون های ماتریس A بدست آمده باشد، برای مثال اگر
در این صورت هر یک از ماتریسهای زیر یک زیر ماتریس A می باشند.
زیر ماتریس از حذف سطرهای اول و دوم و ستونهای اول و سوم، و زیر ماتریس ]4 3 2 [ از حذف سطرهای دوم و سوم و چهارم و ستون اول به دست می آیند.
هرگاه با ترسیم خطوط افقی و عمودی بین سطرها و ستونهای یک ماتریس آن را تقسیم بندی کنیم، گوییم ماتریس را افراز کرده ایم. با تغییر این خطوط افرازهای متفاوتی از یک ماتریس ساخته می شود. مثلاً
دو افراز مختلف از ماتریس A می باشند.
وقتی ماتریس ها از ظرفیت حافظه کامپیوتر بزرگترند، از ماتریس های افراز شده استفاده فراوان می کنند. مثلاً در ضرب دو ماتریس افراز شده، می توان ماتریس ها را روی دیسک نگه داشت. و فقط زیر ماتریس هایی را که در تشکیل حاصل ضربهای زیر ماتریسی لازمند در حافظه آورد. معلوم است که افراز باید به قسمی صورت گیرد که حاصل ضرب ماتریسهای نظیر قابل تعریف باشد.
فرض کنید A و B ماتریسیهایی باشند که AB تعریف شده باشد حال اگر A و B را به صورت
افزار کرده باشیم در این صورت به آسانی ثابت می شودکه برای محاسبه ماتریس AB می توان C و D و… را شبیه درایه ها تصور کرد و عمل ضرب را انجام داد، بنابراین
البته، این مشروط به آن است که افراز به گونه ای باشد که حاصل ضرب های فوق تعریف شده باشد.
ترانهاده یک ماتریس
تعریف: فرض کنید A یک ماتریس m*n باشد، ترانهاده A، ماتریسی است n*m که سطر اول آن ماتریس A سطر دوم آن ستون دوم A و… به طور کلی، سطر iام ترانهاده A ستون iام ماتریس A می باشد. ترانهاده A را با نمادها َA و At یا tA نمایش می دهند.
مثال: فرض کنید
در این صورت ترانهاده A، یعنی َA عبارت است از
ملاحظه می شود که درایه سطر اول ستون دوم ماتریس A مساوی 5 است، یعنی 5=12a از طرف دیگر اگر درایه های َA را با ijَa نشان دهیم درایه سطر دوم ستون اول َA نیز مساوی 5 است.
یعنی5=12a بنابراین 12a= 21َa
به طریق مشابه 13a= 31َa 32a= 23َa
در واقع اگر در این صورت ترانهاده A عبارت است از که در آن
aij=aij
بنابراین درایه سطر jام ستون iتک A= درایه سطر iام ستون jام َA
مثال: ترانهاده یک ماتریس بالا مثلثی ، یک ماتریس پایین مثلثی است و بر عکس.
مثال: ترانهاده ماتریس واحد مرتبه n خود ماتریس واحد مرتبه n است، یعنی I=َI
ویژگی های ترانهاده
قضیه: اگر A یک ماتریس m*n باشد در این صورت A=َ(َ(A
قضیه: اگر A و B دو ماتریس m*n باشند، در این صورت َB +َA = َ((A+B
قضیه: اگر A یک ماتریس m*n و یک عدد حقیقی باشد، در این صورت
ماتریس متقارن
تعریف: ماتریس مربع A را متقارن می نامند، هرگاه A=َA
مثال: ماتریس متقارن است
زیرا
از تساوی A=َA نتجیه می شود aij=ijَa
و در نتیجه aij=aji
بنابراین در ماتریس های متقارن درایه هایی که موضع آنها نسبت به قطر اصلی قرینه اند با هم مساویند.
مثال: هر ماتریس قطری متقارن استن در نتیجه ماتریسهای اسکالر و ماتریس واحد و ماتریس صفر متقارن هستند.
قضیه: اگر A و B دو ماتریس متقارن هم مرتبه باشند، در این صورت A+B نیز متقارن است.
اثبات: چون A و B متقارن است پس A=َA و B=َB بنابراین
َB+َA = َ((A+B
قضیه: اگر A متقارن و یک عدد حقیقی باشد، در این صورت نیز متقارن است
اثبات:
قضیه: اگر A و B دو ماتریس متقارن و تعویض پذیر باشند، در این صورت AB نیز متقارن است.
اثبات:
دتریمنال یک ماتریس:
به هر ماتریس مربع، عددی نسبت داده می شود که دترمینال آن ماتریس نامیده می شود. دترمینان یک ماتریس مانند مشتق یک تابع، اطلاعاتی در مورد آن ماتریس در اختیار می گذارد. برای مثال با استفاده از دترمینان می توان دریافت که یک ماتریس وارون دارد یا خیر؟ و اینکه در حل دستگاههای n معادله n مجهولی می توان از دترمینان استفاده کرد.
دترمینان ماتریس های 1x1
فرض کنید یک ماتریس باشد، دترمینان این ماتریس که با نماد det[a] نشان داده می شود عبارت است از det[a]=a
دترمینان ماتریسهای 2×2
ماتریس را در نظر می گیریم دترمینان A که با هر یک از نمادهای نشان می دهند، به صورت زیر تعریف می شود.
مثال:
برای تعریف دترمینان یک ماتریس n*n لازم است قبل از آن مفاهیم کهاد و همسازه را بدانیم.
کهاد (مینور)
تعریف: فرض کنید A=[aij] ماتریسی n*n باشد. ماتریسی را که از حذف سطر iام ستون jام ماتریس A بدست می آید با Mij نشان می دهیم. دترمینان Mij یعنی را کهاد یا مینور aij می نامند.
تعریف: فرض کنید A=[aij] ماتریسی n*n باشد، همسازه از زاویه aij به صورت زیر تعریف می شود.
تذکر: i+j (1-) در هر حالت مقادیر 1 یا 1- را می گیرد، در واقع
مثال: فرض کنید
در این صورت ماتریس حاصل از حذف سطر اول ستون دوم =A 12M
تعریف دتریمنان ماتریس های n*n
تعریف: فرض کنید A[aij] ماتریسی n*n باشد (n>2) در این صورت دترمینان A به صورت زیر تعریف می شود.
با کمی دقت در فرمول بالا مشاهده می شودکه در محاسبه دترمینان A فقط از درایه های سطر اول و کهاد آنها استفاده شده است. این فرمول را در مورد هر سطر دلخواه دیگر هم می توانیم بنویسیم. مثلاً فرمول بالا برای سطر iام به شکل زیر است
ثابت می شود که مقدار بالا بستگی به iندارد و همان مقدار به دست می آید. فرمول بالا را بسط دترمینان نسبت به سطر iام می نامند و در محاسبه دترمینان نسبت به هر سطری که بسط داده شود، حاصل همواره یکی است.
همچنین در فرمول بسط دترمینان به جای استفاده از سطرهای ماتریس می توانیم از ستون های ماتریس استفاده کنیم و به فرمول زیر که بسط دترمینان نسبت به ستون jام نام دارد، برسیم.
در این مورد نیز ثابت می شودکه مقدار بالا بستگی به j ندارد و همان است.
مثال: مطلوب است محاسبه دترمینان A که A به صورت زیر است.
حل: دترمینان را نسبت به سطر اول بسط می دهیم.
وارون یک ماتریس
برای حل معادلات به صورت ax=b در مجموعه اعداد حقیقی، باید کاری کرد که ضریب x برابر 1 شود. برای این کار باید طرفین را در وارون a یعنی ضرب کرد در نتیجه
البته، روشن است که این معادله را وقتی می توان به این صورت حل کرد که نظیر این معادلات در ماتریس ها نیز مطرح است، یعنی معادلات به صورت AX=C
که در آن A و C ماتریسهای مربع هستند، همانند اعداد راحت ترین کار برای حل این نوع معادلات از میان برداشتن A است، بعبارت دیگر طرفین معادله را می بایست از سمت چپ در ماتریسی ضرب کنیم که A را خنثی کند. منظور از خنثی کردن A آن است که ماتریسی مانند B بدست آوریم به طوری که BA=I در این صورت B را وارون A و یا به عبارت دقیقتر وارون چپ A گویند.
تعریف: فرض کنید A ماتریس n*n باشد. اگر ماتریسی مانند B وجود داشته باشد، به طوری که در آن I ماتریس واحد مرتبه n است، ماتریس B را یک وارون A گویند. در این صورت می گویند A وارون پذیر یا غیر منفرد (ناتکین) است
مثال: نشان دهید ماتریس وارون پذیر است.
حل: با توجه به تعریف باید ماتریسی 2×2 مانند B ارائه دهیم به طوری که
AB=BA=I
برای این کار فرض کنید
بنابراین
از حل دستگاه فوق نتیجه می شود که
بنابراین
به سادگی می توان دید که
بنابراین ماتریس وارون است در نتیجه A وارون پذیر است.
قضیه: وارون یک ماتریس در صورت وجود منحصر به فرد است.
اثبات: فرض کنید A دارای دو وارون َA و ًA باشد، نشان می دهیمَA = ًA
I ماتریس واحد است َIA=ًA
ًA A)َ=(A
(ً(AAَA=
IَA=
َA
قرارداد: اگر A یک ماتریس مربع وارون پذیر باشد، در این صورت وارون A را با 1- A نشان می دهند. بنابراین
A=I1-A= 1-AA
قضیه: فرض کنید
و در این صورت A وارون پذیر است و
اثبات: در معادله صدق می کند
یعنی
پس A وارون پذیر است
بخشی از فهرست مطالب مقاله آشنایی با ماتریس ها
تعریف: ماتریس سطری و ماتریس ستونی
ماتریس واحد (همانی)
توانهای طبیعی یک ماتریس مربع:
ماتریس های پوچ توان:
ترانهاده یک ماتریس
ویژگی های ترانهاده
دتریمنال یک ماتریس:
وارون یک ماتریس
دانلود مقاله آشنایی با ماتریس ها
