همانطور که می دانیم ضرب پیمانه ای در علم رمزنگاری نقش مهمی ایفا می کند. از جمله روشهای رمزنگاری که به ضرب کننده پیمانه ای سریع نیاز دارد، روش رمزنگاری RSA می باشد که در آن نیاز به توان رساندن اعداد بزرگ در پیمانه های بزرگ می باشد. معمولاً برای نمایش اعداد در این حالات از سیستم باقی مانده (RNS) استفاده می شود و ضرب (به عنوان هسته توان رسانی) در این سیستم به کار می رود.
در اینجا برای آشنایی بیشتر به توضیح سیستم عددی باقی مانده می پردازیم و به کاربردها و فواید آن اشاراتی خواهیم داشت.
1-1 سیستم عددی باقیمانده (Residue Number System (RNS))
در حدود 1500 سال پیش معمایی به صورت شعر توسط یک شاعر چینی به صورت زیر بیان شد. «آن چه عددی است که وقتی بر اعداد 3،5و7 تقسیم می شود باقیمانده های 2،3و2 بدست می آید؟» این معما یکی از قدیمی ترین نمونه های سیستم عددی باقی مانده است.
در RNS یک عدد توسط لیستی از باقیمانده هایش برn عدد صحیح مثبت m1 تا mn که این اعداد دو به دو نسبت به هم اولند (یعنی بزرگترین مقسوم علیه مشترک دوبدوشان یک است) به نمایش در می آید. به اعداد m1 تا mn پیمانه (moduli)
می گویند. حاصلضرب این nعدد، تعداد اعدادی که می توان با این پیمانه ها نشان داد را بیان می کند. هر باقیمانده xi را به صورت xi=Xmod mi نمایش می دهند. در مثال بالا عدد مربوطه به صورت X=(2/3/2)RNS(7/5/3) به نمایش در می آید که X mod7=2 و X mod5=3 و X mod3=2. تعداد اعداد قابل نمایش در این مثال می باشد. می توان هرمجموعه 105 تایی از اعداد صحیح مثبت یا منفی متوالی را با این سیستم عددی باقیمانده نمایش داد.
اثبات این که هر عدد صحیح موجود در محدوده، نمایش منحصر به فردی در این سیستم دارد به کمک قضیه باقیمانده های چینی(Chinese Remainder Theorem (CRT)) امکان پذیر است. این قضیه به صورت زیر بیان می شود:
1-2 قضیه باقی مانده های چینی:
اعداد صحیح مثبت را که نسبت به هم دو به دو اول هستند در نظر بگیرید و M را حاصلضرب فرض کنید. همچنین اعداد را فرض کنید. اثبات می شود که فقط و فقط یک عدد صحیح U وجود دارد که شرایط زیر دارد:
که U برابر است با:
اعمال ریاضی جمع، تفریق و ضرب به راحتی و به صورت زیر در این سیستم انجام می شود.
در فرمول بالا به جای علامت می توان هر کدام از علائم +،-،* را قرار داد.
سه عمل ریاضی (+،-،*) در این سیستم عددی راحت‌تر از سیستم نمایش عادی اعداد انجام می شود، زیرا هنگام انجام این عمل در این سیستم رقم نقلی (carry) بین بخشها رد و بدل نمی شود. در واقع انجام عملیات مربوط به مانده های هر پیمانه تاثیری روی دیگر عمل ها ندارد. یعنی محاسبه “” می تواند بطور مستقل (و در واقع موازی) انجام شود و نتیجه آن تاثیری در بقیه “”ها ندارد. بدین ترتیب عملیات ریاضی سریعتر (بعلت موازی شدن) و راحت تر (بعلت عدم تاثیرگذاری محاسبات مربوط به هر مانده برهم) انجام می شود.
1- مقدمه1
1-1 سیستم عددی باقیمانده1
1-2 قضیه باقی مانده های چینی2
1-3 کاربردهای RNS3
2- روشهای ضرب پیمانه ای 5
2-1 روش مونتگمری5
2-2 بررسی اجمالی روشهای موجود پیاده سازی ضرب در RNS6
2-3 نکاتی پیرامون چهار طرح مورد نظر7
3- طرح اول8
3-1 مقدمه8
3-2 بررسی سوابق8
3-3 الگوریتم9
3-4 پیاده سازی سخت افزاری10
3-5 محاسبه پیچیدگی مساحت و تأخیر طرح اول13
4- طرح دوم15
4-1 مقدمه15
4-2 بررسی سوابق 15
4-3 الگوریتم15
4-4 پیاده سازی سخت افزاری18
4-5 محاسبه پیچیدگی مساحت و تأخیر طرح دوم20
5- طرح سوم21
5-1 تبدیل سیستم RNS (Residue Conversion)28
5-2 پیاده سازی سخت افزاری30
5-2-1 پیاده سازی تبدیل RNS31
5-2-2 پیاده سازی بخش اصلی الگوریتم (الگوریتم مونتگمری با RNS)34
5-3- محاسبه پیچیدگی مساحت و تأخیر طرح سوم 36
5-3-1 عناصر وابسته به ROM36
5-3-2 عناصر ریاضی36
5-3-3 تأخیر و مساحت تبدیل کننده RNS استاندارد37
5-3-4 محاسبه مساحت و تأخیر تبدیل کننده RNS سریع44
5-3-5 مساحت و تأخیر طرح سوم50
5-4 نتایج پیاده سازی در طرح سوم 56
6- طرح چهارم58
6-1 بیان مقاله در مورد سیستم RNS 59
6-2 بیان مقاله از ضرب پیمانه ای بدون تقسیم (روش مونتگمری)60
6-3 بررسی صحت الگوریتم62
6-4 روش تبدیل RNS66
6-5 پیاده سازی سخت افزاری67
6-5-1 تبدیل RNS ناقص68
6-5-2 پیاده سازی بخش اصلی طرح چهارم (الگوریتم مونتگمری)68
6-6 محاسبه پیچیدگی تأخیر و مساحت طرح چهارم70
6-6-1 محاسبه تأخیر و مساحت تبدیل RNSناقص70
6-6-2 محاسبه تأخیر و مساحت در طرح چهارم72
6-7 نتایج شبیه سازی در طرج چهارم80
7- مقایسه طرح ها وجمع بندی 81
7-1- مقایسه چهار طرح81
7-2- جمع بندی 98
8- مراجع
9- ضمائم
الف – کدهای VHDL طرح اول
ب – کدهای VHDL طرح دوم
ج – کدهای VHDL طرح سوم
د – کدهای VHDL طرح چهارم
هـ – MOMA
شامل 150 صفحه فایل word
به همراه تصاویر و نمودار ها
دانلود پایان نامه مقایسه چهارطرح ضرب کننده RNS