در ناحیه مرکزی این تیر نیروی برشی وجود ندارد و این ناحیه تنها تحت لنگر خمشی ثابتی برابر Pa قرار دارد. تیری را که در دو انتهای خود تحت تاثیر و لنگر خمشی مساوی، مختلف الجهت و هم صفحه قرار دارد، می‌گویند که در خمش خالص است.
توجه: پیچش ایجاد تنش برشی و خمش ایجاد شده تنش محوری می‌کند.
با آزمایش ساده‌ای می‌توان خمش یک تیر سده را مشاهده نمود. برای این کار یک تکه اسفنج به ابعاد مثلاً 50×100×150 میلیمتر را مطابق شکل بر روی دو تکیه‌گاه قرار دهید و با دست بر آن فشار وارد کنید. مشاهده خواهید کرد که سوراخ‌های اسفنج در بالای آن بسته و نشان دهنده فشار در بالای اسفنج در پایین آن و نشان دهنده کشش در پایین اسفنج میباشد. سوراخ‌ها در مجاورت دو تکیه‌گاه بدون تغییر باقی می‌مانند، زیرا لنگر خمشی در دو انتهای تیر در مقایسه با وسط تیر خیلی کوچک هستند.
با توجه به مثال ذکر شده می‌توان نیروهای وارد بر مقطع عرض یک تیر را که در خمش خالص قرار دارند، به صورت زیر نشان داد.
فرضیات اساسی خمش:
1. صفحات عمود بر محور، بعد از اعمال خمش به صورت صفحه باقی می‌مانند و تنها حول یک محور دوران می‌کنند.
2. تغییر شکل‌ها دارای تغییرات خطی نسبت به محور دوران هستند.
رفتار مصالح در کشش و فشار یکسان است.
در یک تیر تحت خمش، تغییرات کرنش موجود در تارهای طولی موازی صفحه خنثی به صورت خطی میباشد و یا به عبارت دیگر، مقدار کرنش تارهای فوق متناسب با فاصله آنها از محور خنثی میباشد.
در تصویر بزرگ شده این جزء کوچک، دیده می‌شود که طول تارهایی از تیر که در روی سطحی نظیر ab قرار دارند، تغییری نمی‌کند، چون جزء مزبور به صورت دلخواه انتخاب شده است. تارهای عاری از تنش و کرنش به طور پیوسته در تمام طول و پهنای تیر وجود دارند. این تارها در روی صفحه‌ای قرار دارند که سطح خنثی تیز نامیده می‌شود. فصل مشترک این صفحه با یک مقطع عرض قائم بر تیر محور خنثی نامیده می‌شود، از هر دو اصطلاح برای نشان دادند محل تنش یا کرنش صفر در یک عضو تحت خمش استفاده می‌شود.
اثبات اینکه محور اصلی ختثی باید از مرکز هنری سطح مقطع تیر عبور کند:
چون شعاع انحنا p و ضریب ارتجاعی E مقادیر ثابتی هستند، از این معادله نتیجه می‌شود که برای تیری که در خمش خالص رابطه زیر برقرار است.
که در آن y فاصله مرکز هندسی سطح A از محور مبناء میباشد. بنابراین yA=0 از آنجایی که A صفر نیست، y باید مساوی صفر شود. بنابراین فاصله مرکز هندسی سطح مقطع محور خنثی باید صفر باشد.
دومین شرط تعادل، تعادل در لنگرهای خنثی حول محور Z میباشد. لذا داریم:
انحناء محور طولی تیر مستقیماً با لنگر خمشی M و معکوساً با کمیت EI موسوم به طبیعت خنثی تیر مناسب میباشد.
M: لنگر خمشی
C: دورترین فاصله تا تار خنثی
I: ممان اینرسی حول محور خنثی
روابط فوق در صورتی صادق هستند که محورهای x, y محورهای اصلی اصلی مقطع باشند.
مثال: ممان خمشی مجاز تیر با مقطع مربع چند برابر ممان مجاز مقطع دایره‌ای از جنبش مشابه و سطح مقطع یکسان است؟
مثال:
تعیین کنید حداکثر تنش عمودی ناشی از خمش را در تیر ساده زیر وقتی که P=6000kg و سطح مقطع عرض آن مطابق شکل زیر باشد:
مثال:
یک لوله فولادی به قطر خارجی d1=4cm و قطر d2=3cm به صورت تیر ساده برای پوشاندن دهانه یک متری بکار رفته است. حداکثر بار مجازی که این لوله در وسط دهانه‌ای می‌تواند تحمل 120 کیلوگرم میباشد. اگر چهار عدد از این لوله‌ها به صورت موازی به یکدیگر کاملاً متصل گردند و برای پوشش همان دهانه بکار روند، حداکثر باری که چهار لوله می‌توانند در وسط دهانه‌شان تحمل کنند، چقدر است؟
برای چهار لوله مزبور می‌توانیم بنویسیم:
خمش مقطع دوجنسی:
مقاطعی را که از دو جنس متفاوت تشکیل شده‌اند، می‌توان به صورت یک شکل معادل یک جنسی درنظر گرفت. بدین صورت که عرض یکی از دو قسمت را به نسبت مدول‌های الاستیسیته افزایش می‌دهیم. در این حالت تنش بدست آمده قسمت قبل تبدیل یافته را باید به نسبت مدول‌های الاستیسیته افزایش دهیم.
مثال:
مقطع عرضی تیر کوچکی که از هفت لایه تخته چندلایی ساخته شده در شکل زیر نشان داده شده است. رگه‌هایی از لایه‌ها یک در میان در موازی طول تیر است. تیر مزبور به طول 2/1 متر و دارای دو تکیه‌گاه ساده میباشد و بار متمرکز p در وسط دهانه آن وارد می‌شود. ضریب ارتجاعی در جهت موازی رگه‌ها برابر E1=106kg/cm2 و جهت عمود بر رگه‌ها برابر E2=2.5*105kg/cm2 است. تنش‌های مجاز مربوطه σ1=84kg/cm2, σ2=21kg/cm2 است. مقدار مجاز بار p را تعیین کنید.
تنش σ1 در این مساله تنش تعیین کننده است و لنگر خمشی حداکثری که مقطع مزبور می‌تواند تحمل کند، مساوی است با:
مثال:
مقطع تیر بتن سطح شکل زیر تحت تاثیر لنگر خمشی مثبت 2/69 کیلونیوتن قرار دارد. اگر فولاد مقطع دو میلگرد به قطر 28 میلیمتر و نسبت ضریب ارتجاعی فولاد و بتن 15 باشد و n=15، مطلوب است تنش حداکثر در بتن و فولاد.
توجه:
اگر در جواب بدست بیاید، عدد مثبت قابل قبول میباشد و اگر بیشتر از d باشد، عدد بدست آمده تا قابل قبول نیست.
مســـائـــل
مثال)
مطلوب است تعیین ممان اینرسی نیمرخهای نشان داده شده در شکل نسبت به محور افقی مار بر مرکز هندسی سطح (محور مرکزی افقی).
حل: از پایین
مثال)
مطلوب است تعیین ممان اینرسی نیمرخهای نشان داده شده در شکل نسبت به محور افقی مار بر مرکز هندسی سطح (محور مرکزی افقی).
حل: به دلیل تقارن مقطع از پایین
مثال)
مطلوب است تعیین ممان اینرسی نیمرخهای نشان داده شده در شکل نسبت به محور افقی مار بر مرکز هندسی سطح (محور مرکزی افقی).
حل: به علت تقارن مقطع
از پایین
مشخصات نبشی عبارتند از:
مثال)
بر مقاطع و نیمرخهای نشان داده شده در شکل، لنگر خمشی مثبتی معادل 54000 نیوتن متر در حول محور خنثی اثر می‌کند. مطلوب است تعیین تنش‌های خمشی در نقاط نشان داده شده که توسط یک نقطه پررنگ مشخص شده‌اند.
حل:
مثال)
بر مقاطع و نیمرخهای نشان داده شده در شکل، لنگر خمشی مثبتی معادل 54000 نیوتن متر در حول محور خنثی اثر می‌کند. مطلوب است تعیین تنش‌های خمشی در نقاط نشان داده شده که توسط یک نقطه پررنگ مشخص شده‌اند.
حل:
مثال)
مطلوب است تعیین لنگر خمشی مجاز یک تیر چوبی با مقطع مربع مستطیل 50×100 میلیمتر در دو حالت زیر:
الف) وقتی که خمش در حول محور خنثی موازی با ضلع 50 میلیمتر اتفاق می‌افتد.
ب) وقتی که خمش در حول محور خنثی موازی با ضلع 100 میلیمتر اتفاق می‌افتد.
تنش مجاز چوب مساوی 4/8 نیوتن بر میلیمتر مربع (مگا پاسکال) میباشد.
حل:
مثال)
یک مقطع مربع در دو حالت نشان داده شده در حول محور X-X تحت خمش قرار می‌گیرد. مطلوب است تعیین نسبت لنگر خمشی مجاز دو حالت در صورتی که تنش خمشی مجاز برای هر دو مقطع یکسان باشد.
حل:
مثال)
یک تیر که دارای مقطع مربع مستطیل توپری مطابق به ابعاد نشان داده شده در شکل میباشد، تحت لنگر خمشی مثبت 16000 نیوتن متر در حول حور افقی قرار دارد:
الف) مطلوب است تعیین برآیند نیروهای فشاری وارد بر مقطع سایه زده شده که در اثر لنگر خمشی تولید می‌شود.
ب) مطلوب است تعیین برآیند نیروهای کششی وارد بر سطح چهارخانه.
حل:
مثال)
وقتی دو بار متمرکز مطابق شکل به یک تیر با نیمرخ فولادی IPE450 وارد می‌شوند، فاصله‌سنجی که بین دو نقطه A, B نصب شده است، افزایش طولی به میزان 12/0 میلیمتر نشان می‌دهد. مقدار نیروی وارده چقدر است؟ ضرایب ارتجاعی فولاد را 5 10×2 نیوتن بر میلیمتر مربع درنظر بگیرید.
حل:
مثال)
مطابق شکل، یک تیر با مقطع سپری از مصالحی ساخته شده است که حد تناسب کششی آن 20 نیوتن بر میلیمتر مربع و حد تناسب فشاری آن 40 نیوتن بر میلیمتر مربع میباشد. با ضریب اطمینان 5/1 در مقابل جاری شدن، مطلوب است تعیین حداکثر نیروی متمرکز F (جهت F می‌تواند هم به سمت بالا و هم به سمت پایین باشد) که می‌تواند بر تیر وارد شود. مساله را فقط بر مبنای حداکثر تنش‌های حداکثر تنش‌های خمشی ناشی از F حل نمایید.
حل: از بالا
مساله را برای دو حالت حل می‌کنیم:
1) زمانی که جهت F رو به بالاست:
پس حداکثر نیروی وارده در این حالت 66/8 کیلونیوتن است.
ب) زمانی که جهت F رو به پایین است:
در نتیجه در این حالت حداکثر نیروی وارده برابر 51/5 کیلونیوتن میباشد.
مثال)
مطلوب است تعیین نسبت MP/MY برای نیمرخهای نشان داده شده در شکل که حول محور مرکزی افقی‌شان تحت تاثیر لنگر خمشی قرار دارند.
حل: با درنظر گرفتن این نکته که ممان اینرسی مثلث نسبت به قاعده برابر است با که در آن b قاعده و h ارتفاع مثلث می‌باشند داریم:
مثال)
هر کدام از مقاطع مرکب نشان داده شده در شکل تحت تاثیر لنگر خمشی (کیلونیوتن متر) قرار دارند. مصالح به طور محکم به یکدیگر وصل شده‌اند، به طوری که تیر به صورت یکپارچه عمل می‌کند. مطلوب است تعیین تنش حداکثر در هر کدام از مصالح.
حل:
مثال)
مطلوب است تعیین لنگر خمشی در حول محور خنثای افقی مقاطع مرکب چوب و فولاد نشان داده شده در شکل. مصالح به طور محکم به یکدیگر متصل شده‌اند، به طوری که تبر به صورت یکپارچه عمل می‌کند. ضریب ارتجاعی فولاد مساوی 5 10×2 و ضریب ارتجاعی چوب مساوی 5 10×083/0 نیوتن بر میلیمتر مربع و تنش مجاز فولاد و چوب به ترتیب 140 و 3/8 نیوتن بر میلیمتر مربع میباشد.
1. کوپل kN.m 3.5به میله فولادی نشان داده شده اعمال می‌شود.
(الف) با فرض آنکه کوپل تیر را حول محور افقی خم کند، مطلوب است تعیین حداکثر تنش و شعاع انحنا.
(ب) قسمت (الف) را با این فرض حل کنید که میله حول محور قائم و تحت تأثیر کوپل kN.m 5/3 خم شود، از GPa 200= E استفاده کنید.
فرمت این مقاله به صورت Word و با قابلیت ویرایش میباشد
تعداد صفحات این مقاله 29 صفحه
پس از پرداخت ، میتوانید مقاله را به صورت انلاین دانلود کنید
دانلود مقاله خمش خالص تیرها